Définition du produit scolaire, ou l'abus de confiance ordinaire...

[JacquesL]

Trouvé ceci sur fr.education.entraide.maths :

Bonjour,
je ne parviens pas à montrer l'équivalence entre les différentes définitions du produit scalaire.
j'aimerais montrer que les définitions suivantes sont équivalentes :
1) u.v=||u||*||v||*cos(u,v)
2) déf avec le projeté orthogonal
3) u.v=1/2*(||u+v||^2-||u||^2-||v||^2)
4) u.v=xx'+yy' où (x,y)coord de u et (x',y')coord de v

Alors pour montrer que 1 et 2 sont équivalentes ça ne me pose pas de problème car ça résulte de la définition du cos

mais par contre je n'arrive pas à montrer 3 ou 4.

Quelqu'un pourrait il me mettre sur la piste ??!
Merci d'avance
Julie

Réponse :

2)=>3) :
Supposons u non nul, soit w le projeté orthogonal de v sur vect(u)
Soit w'=v-w

D'après Pythagore :
||u+v||^2 = ||u+w||^2 + ||w'||^2 (*)

Comme u et w sont colinéaires :
||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u*w + ||w||^2
où u*w désigne le produit "algébrique" de 2 vecteurs colinéaires
(u*w = +-||u||.||w|| selon qu'ils ont le même sens ou non)
u*w=u.v d'après 2)
Donc ||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||w||^2 (**)

En injectant (**) dans (*) :
||u+v||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||w||^2 + ||w'||^2

Or d'après Pythagore : ||w||^2 + ||w'||^2 = ||v||^2

Donc ||u+v||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||v||^2
CQFD

Puis :

Julie a écrit :
> Dans votre démonstration vous avez mis :
> "Comme u et w sont colinéaires :
>  ||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u*w + ||w||^2"   (&&)
>
> mais j'ai supposé que la norme est définie comme une distance ie ||vecteur AB||=distance entre le point A et le point B.
> Mais je ne peux pas me servir du fait que ||u||^2=u.u
> Puisque je le démontre ensuite grace à ma définition du produit scalaire.
> Donc je ne peux pas utiliser l'égalité (&&).
>
> Comment faire dans ce cas ?
C'est justement parce que u et w sont colinéaires qu'on peut écrire (**)
||u+w||^2 = ||u||^2 + ||w||^2 + 2u.v (**)

Je détaille ce point que je n'avais pas détaillé :
-Si u et w sont de même sens, alors ||u+w||=||u||+||w||, donc :
||u+w||^2 = ||u||^2 + ||w||^2 + 2||u||||w||
Or ||u||||w||=u.v dans ce cas, donc (**) est vrai

-Si u et w sont de sens contraire, alors ||u+w||=+-(||u||-||w||)
||u+w||^2 = ||u||^2 + ||w||^2 - 2||u||||w||
Or -||u||||w||=u.v, donc (**) est vrai

On hésite à casser une telle unanimité touchante.

Vous êtes tous deux d'accord que
"relativement à une certaine base" = néant,
que par conséquent
"coordonnées relativement à une certaine base" = "coordonnées dans l'absolu",
que "vecteur" = coordonnées,
que grandeur physique = nombre,
et que "unité physique" = néant...

Par conséquent changer de base est une opération dangereuse et hérétique... Et à
éviter par dessus tout sera une base non orthonormale. Pas question en
particulier de traiter de problèmes de cristallographie, où les angles
sont le plus souvent tous non droits, et les vecteurs de base non
normés entre eux. Pas question non plus de traiter d'un solide
élastique déformé... Tout cela serait de l'hérésie qui vous vaudrait le bûcher !

Bon, je vous donne quand même la traduction en coordonnées, de la
définition intrinsèque :
V.W = Somme sur les indices m et n, des produits g_mn.v^m.w^n
[tex]\vec{V}.\vec{W} = \sum_{m, n}g_{mn}.v^m.w^n[/tex]

Le tenseur g_mn est le tenseur métrique de la base en vigueur.
Cours : http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/SYNTAXV1_.htm ou http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/SYNTAXV1_.pdf

Les coordonnées du tenseur métrique, sont un tableau carré de produits
scalaires de chaque vecteur de la base par chaque vecteur de la base.
Par exemple si le premier vecteur de base [tex]e_1[/tex] est de longueur un
mètre, la coordonnée [tex]g_{11}[/tex] vaut 1 m² : un mètre carré.

Quand on accepte de faire des définitions et des calculs ainsi
complets, on peut se permettre sans danger les coordonnées
inhomogènes, telles que cylindriques, sphériques, etc. Le tenseur
métrique suit, et les coordonnées aussi. Ah oui, les coordonnées aussi
sont des grandeurs physiques. Ce ne sont que dans de très rares cas
spéciaux - justement les cas scolaires - que les coordonnées sont sans
dimension physique, de simples nombres.

Voilà comment, grâce aux radotages scolaires où les auteurs se
recopient les uns les autres de génération en génération, le monde
mental ment monumentalement.

vas prendre tes gouttes

>
> irsute nous a fait l'horreur de nous écrire :
>> vas prendre tes gouttes
>
>
> Le serpent et la lime (Jean de la Fontaine)
>
> On conte qu'un serpent voisin d'un horloger
> (C'étoit pour l'horloger un mauvais voisinage)
> Entra dans sa boutique, et cherchant à manger,
> N'y rencontra pour tout potage
> Qu'une lime d'acier qu'il se mit à ronger.
> Cette lime lui dit, sans se mettre en colère :
> Pauvre ignorant, et que prétends-tu faire ?
> Tu te prends à plus dur que toi,
> Petit serpent à tête folle :
> Plutôt que d'emporter de moi
> Seulement le quart d'une obole,
> Tu te romprois toutes les dents.
> Je ne crains que celles du temps.
> Ceci s'adresse à vous, esprits du dernier ordre,
> Qui, n'étant bons à rien, cherchez sur tout à mordre,
> Vous vous tourmentez vainement.
> Croyez-vous que vos dents impriment leurs outrages
> Sur tant de beaux ouvrages ?
> Ils sont pour vous d'airain, d'acier, de diamant.
>
>
La personne qui pose la question n'est surement très calée en math, ta réponse est donc pour elle d'une totale inutilité.
Merci de ne pas encombrer les forum

>
> En vertu du principe que "Plus c'est faux, plus c'est bien assez bon
> pour les élèves ! On n'a qu'à dire que c'est plus simple, et passez
> muscade !"
> Le principe {
> "relativement à une certaine base" = néant,
> par conséquent
> "coordonnées relativement à une certaine base" = "coordonnées dans l'absolu",
> "vecteur" = coordonnées,
> grandeur physique = nombre,
> et "unité physique" = néant...
> }
> est surtout plus simple pour le prof, car ainsi, il n'a pas à
> réactualiser les énormités qu'il a apprises, et qu'il reproduit aux
> dépens de la génération suivante.

Merci de ne pas encombrer les forum! Si vous êtes prof je plein vos élèves.

C'est vrai que "irsute" est complètement plein...

Jacques a écrit :
> Définition du produit scolaire, ou l'abus de confiance au quotidien :
> http://deonto-famille.org/citoyens/debattre/index.php?topic=616.0
>
t'es vraiment un malade, faudrait te faire soigner

Merci à "irsute", d'avoir ajouté cette pièce à son dossier.