Le calcul de la géométrie d’un canal-fuseau de Fermat existe-t-il ?

[JacquesL]

Le calcul de la géométrie d'un canal-fuseau de Fermat existe-t-il ?

A l'époque du premier calcul de cette géométrie, je m'étais contenté d'additionner le champ d'un dipôle émetteur dans le vide vers l'infini, et du dipôle absorbeur recevant de l'infini. Or les graphiques résultants ne montraient rien qui ressemblât à un mince canal. Rien ne rendait compte du nécessaire accord de phase à l'arrivée, exigé par le principe de Fermat. Ce mode de calcul violait aussi la directivité inhérente à chaque photon, démontrée en 1916 par A. Einstein, et prouvée à nouveau dans chaque dématérialisation de positron, exploitée dans chaque PET scan.

J'ai ensuite juste posé tout cela sur le côté, pour me rabattre en urgence sur la simplification à courbure constante : l'arc de cercle. Malgré ses imperfections évidentes.
Par héritage, le défaut initial était le présupposé implicite des absorbeurs en nombre illimité à l'infini, ou « malédiction des astronomes ». Cette hypothèse clandestine et hégémonique est enseignée dans tous les manuels de MQ, et sur tous les campus...

Ce défaut initial est-il irrémédiable ?

J'ai mis un temps indu à m'en apercevoir : oui, il fallait repartir de zéro. Personne n'a encore traité la question du couple émetteur-absorbeur, ou mieux du triplet émetteur-espace-absorbeur.
De surcroît, on n'a pas de théorie correcte du champ proche, autour de l'atome émetteur ou de l'atome absorbeur, pour rester dans les cas historiques de la spectrographie.

Ordres de grandeurs relatifs des longueurs d'ondes et des diamètres des apex ?
Cas du rayonnement Mössbauer du fer 57 : λ = 86,1 pm = 86 100 fm.
Or le diamètre connu de ce noyau est de l'ordre de 10 fm. D'où un ratio de 1 à 9 000 environ du diamètre d'apex émetteur ou absorbeur à la longueur d'onde du photon transmis.
Or vu la définition ultra-fine en fréquence de ce photon, cela implique quelques dix milliards à cent milliards d'oscillations de noyau entre l'état final et l'état initial pour émettre tout un photon, ou le recevoir tout entier.

On peut recommencer le calcul pour telle raie jaune du sodium, et comparer au diamètre connu du sodium dans les états concernés, ou pour la raie d'absorption sélective du monoxyde de carbone à 65,05 Terahertz :
4,608 µm / 0,47 nm ≈ 10 000, à la précision près de ce diamètre de la molécule CO.
On retombe bien sur le même ordre de grandeur du ratio [longueur d'onde / diamètre d'apex].

De façon toute empirique, on peut tenter le modèle d'une courbure de chaque rayon partiel proportionnelle à la différence de deux fractions rationnelles :
courbure = α . (1/r_e - 1/r_a)
où r_e et r_a sont les distances respectives à l'émetteur et à l'absorbeur.

Et on élimine (ou on croit éliminer) les singularités en champ trop proche en ne pénétrant jamais dans la boule ayant le diamètre de l'atome émetteur ou absorbeur (atome ou molécule ou noyau). Il reste à vérifier que ces diamètres de boule suffisent.
Il reste à calculer les longueurs répondant au critère de Fermat-Fresnel.

Une autre approche, plus similaire aux calculs de faisceaux hyperboliques issus d'un laser, serait de scruter la courbure des surfaces isophases. Leur borne supérieure correspond à la forme grossière de l'atome ou de la molécule terminaux.

[JacquesL]

Formulé différemment : existe-t-il une transformation qui change le récepteur infini à l'infini, en un absorbeur quasi-ponctuel à quelque distance, et qui conserve la perpendicularité des fronts d'onde avec le vecteur de Poynting ?

La réponse est non : ça n'existe pas. Tout est à créer de neuf.

Transformer la courbure en rayon :
R_y=0 = (r_a . r_e) / (r_a - r_e)
Tous les arcs réels sont de petites portions de ce cercle. La corde est le diamètre du canal-fuseau.

Soit 2a la distance entre les deux apex.
x₀ l'abscisse sur l'axe optique.
Le rayon du cercle sécant à x₀ : R( x₀ ) = ((2a-x₀). x₀ ) / (2(a-x₀))
Abscisse de son centre : x₀ + ((2a-x₀). x₀ ) / (2(a-x₀))
On renomme f = x₀, car cela désigne aussi l'index de la phase progressive, à chaque instant. On réécrit en plus léger :
R(f) = (2a-f).f / 2(a-f)
Abscisse de son centre : f + (2a-f).f / 2(a-f)

Equation du cercle :
(x - f - ((2a-f).f / 2(a-f))² + y² = ((2a-f).f / 2(a-f))²

Plus pratique, mais seulement pour chaque front de phase, avec l'origine sur l'axe des phases, au front de phase :
y² = x.(2R-x) =

Ou en coordonnées polaires :