La notion de limite en mathématiques

[Mateo]

Phillippe Colliard a écrit :

Bonjour à tous,

il me semble que les difficultés liées aux limites ne viennent pas de
ce qu'est la limite d'une suite, mais de ce qu'on parle de plusieurs autres
limites !

Dès qu'on dispose d'une métrique, la limite d'une suite me paraît
visuellement simple : un point (ou un nombre...) est limite d'une suite
équivaut à : quelle que soit la boule centrée en ce point (nombre), elle
contient "presque" tous les éléments de la suite ! ( "presque" pour :
sauf un nombre fini d'éléments )

Là où ça se complique, c'est, d'une part, cette habitude de dire que les
éléments de la suite "tendent vers" cette limite, ce qui donne une idée
de mouvement là où il n'y en a pas...

Et d'autre part, d'asséner sans précautions, dans le cas de la tangente t
à un graphe Gf, en un point A, d'abscisse a, que t est la limite des
droites (AB) , (B étant un point de Gf), lorsque "B tend vers A" : il
s'agit là d'un abus de langage, bien pratique, mais qui nécessite
peut-être d'être signalé, non ?

En réalité, on associe à la suite des (AB) une suite de nombres (la
mesure de l'angle entre (AB) et t, par exemple... Ou, évidemment, la
tangente de l'angle entre (AB) et l'axe des abscisses, si on veut
introduire les nombres-dérivés), on observe que cette suite de nombres
converge, et on décide d'appeler "droite-limite" la droite associée à ce
nombre-limite.

Le même type d'abus de langage se retrouve - avec des conséquences
pédagogiques - à propos de la continuité : dire que R est continu n'a
pas le même sens que dire "la fonction f est continue".

Dans le 1er cas, on observe les convergences de suites de R ; dans le second, les
convergences des "suites-images" (par f) de suites convergentes de R.

Bon, quelqu'un a-t-il un peu d'aspirine ?

Purement à titre de curiosité pré-historique, je viens de mettre en
ligne le 1er poly un peu dense que j'ai écrit, pour des terminales C de
l'époque, en ... 1974

Il était certainement mal construit, grandiloquent et fumeux, mais soyez
charitables : je commençais ma 3ème année de prof !

(Je viens de le retrouver... Apparemment, j'y ai rajouté quelques
remarques ou interrogations, un peu plus tard. Je ne sais plus quand)

Si ça vous tente, il est là : http://mathemagique.com/pour-nostalgie.html

A bientôt ?
--
Philippe Colliard

Le 28 Oct 2014 Rudolf Bkouche a répondu :

Le point de vue cinématique n'est pas une illusion d'optique,
c'est   une conception de la limite qui a toujours sa signification.
Et c'est ce point de vue qui permet de comprendre la notion de vitesse instantanée.

La question n'est pas une question pédagogique, c'est une question mathématique.
On travaille toujours au carrefour de l'intuition et de la rigueur.

La question n'est pas non plus celle du sentiment par rapport aux mathématiques modernes.

La réforme des mathématiques a oublié un pan de l'activité mathématique,
la part intuitive qu'elle a opposé à la rigueur formelle ;
une erreur épistémologique qui ne pouvait qu'entraîner une erreur pédagogique.

Comme mathématicien, je serais plutôt formaliste, mais cela ne fait pas oublier la part d'intuition 
du travail mathématique, pas plus que le recours intuition ne peut 
faire oublier les aspects formels du discours mathématique.

Mais lire Bourbaki demande du travail. Lorsqu'on découvre Bourbaki 
après des études classiques, c'est un émerveillement.

Les mathématiques n'ont pas été maladroitement expérimentées dans l'enseignement ;
elles ont leur place en fin d'enseignement, peut-être en TS si l'enseignement antérieur est consistant.

Mais racontées trop tôt, elles perdent leur sens.
La modernité scientifique n'est pas transparente et le rôle de l'enseignement est d'y amener.

Par contre, il serait utile de relire Hilbert, l'un des inventeurs des méthodes formalistes qui écrit,
dans "Geometry and Imagination" (je ne saurai écrire le titre allemand qui renvoie à la place de 
l'intuition dans la géométrie)

"In mathematics, as in any scientific research, we find two tendencies 
present. On the one hand, the ten­dency toward abstraction seeks to 
crystallise the logical relations inherent in the maze of material 
that is being studied, and to correlate the material in a systematic 
and or­derly manner.

On the other hand, the tendency toward intuitive 
un­derstanding fosters a more immediate grasp of the objects one 
studies, a live rapport with them, so to speak, which stresses the 
concrete meaning of their rela­tions."

Ce double aspect des mathématique, l'aspect logique et la 
compréhension intuitive, doit guider l'enseignement.

bien cordialement,
--
Rudolf Bkouche

[JacquesL]

Ce qu'il y a de terrible avec vous autres matheux, est que vous vous dispensez de préciser à vos élèves que le monde que vous enseignez est un monde de pensée, totalement artificiel et déconnecté de la réalité physique.

En physique, on rencontre des limites de validité supérieures et inférieures au type de géométrie que vous enseignez : ça ne s'applique qu'à des trucs ni trop grands ni trop petits par rapport à nos mains.
Côté limite supérieure : il faut que la rigidité des objets matériels ressemble encore à vos abstractions de trucs indéformables, infiniment rigides. Il faut que votre terrain demeure petit par rapport au rayon terrestre. Tout indique par exemple que la largeur du Japon a changé élastiquement, après la subduction brutale qui a déclenché le tsunami dévastateur. Et que cela changera encore.

Côté limite inférieure, nous butons sur la limite atomique, et plusieurs autres limites encore plus drastiques. Un électron de conduction dans le cuivre occupe un bon millier (flou) de volumes de mailles cristallines cfc (cubique à faces centrées), et ils sont quatre mille à se partager ce volume. Certes la maille élémentaire serait rhomboédrique et n'aurait qu'un atome en tout et un électron de conduction en tout, mais j'ai suivi l'habitude de prendre la maille cubique, qui reflète les plus grandes symétries, et contient 4 atomes.

Il n'y a rien en microphysique qui ressemble au temps macroscopique uniforme, universel, autosimilaire à toutes les échelles, que vous enseignez.
http://deonto-ethics.org/quantic/index.php?title=Microphysique_:_ondulatoire_ou_poltergeist_%3F
L'équation de Dirac pour l'électron, publiée en 1928, lui donne quatre composantes, deux orthochrones à énergie positive, deux rétrochrones à énergie négative et fréquence négative. Depuis 1928-1930, les caciques sont devant cela comme une poule qui aurait trouvé un couteau. La rétrosymétrie du temps pour chaque particule leur demeure étrangère. Allez faire un temps universel avec cela, bonjour les dégâts !

Plus nous avons progressé en physique, et plus nous avons été acculés à constater que l'enseignement mathématique reçu nous avait induit en erreurs, d'erreurs en erreurs. Il s'en faut de 40 ou 50 ans minimum, pour que nous puissions corriger ces dégâts : je ne verrai pas cela de mon vivant.

Dans son état hégémonique, enseigné partout, la quantique est un bordel innommable, impossible à enseigner avec un rendement pédagogique avouable, car elle se cramponne à des notions géométriques et physiques héritées des maths que vos prédécesseurs leur ont enseignées, et qui sont extrapolées totalement hors de leur domaine de validité. Ne serait ce que leur intuable notion de "corpuscule", juste corrigé par des lois statistiques magiques, et la magie de la "probabilité d'apparition du corpuscule". Le plus inexcusable des merdiers.

Aussi vos querelles de théologiens autour de ces abstractions sans validité nulle part, m'attristent profondément.

[JacquesL]

Jacques Lavau a écrit : (...)

Rudolf Bkouche a répondu :

Théologiens contre théologiens.
Et Heisenberg expliquait :

--
Rudolf Bkouche

Wernher Heisenberg, par sa falsification des propriétés de la transformation de Fourier, et par sa falsification de l'histoire, est l'auteur principal de l'inavouable merdier actuellement enseigné (avec un rendement inavouable) par les héritiers de sa clique Göttingen-København.

On peut le faire passer pour une référence auprès des ignares, certes. Mais pas à mes yeux.
La physique, je ne me contente pas de la répéter, je sais la faire.

Références :
http://citoyens.deontolog.org/index.php/topic,1285.0.html
http://citoyens.deontolog.org/index.php/topic,1141.0.html
http://deonto-ethics.org/resources/physique/Unorthodoxy.odt
etc. Notamment http://deonto-ethics.org/quantic/index.php?title=Microphysique_:_ondulatoire_ou_poltergeist_%3F