Les malheurs de la "marée du Baccalauréat".

[JacquesL]

Ce fut un krank qui nous donna ce lien vers cette vidéo : http://www.dailymotion.com/video/xqmtnh_terre-et-lune-explication-des-marees_webcam
Comme il le fit en krank, éructant les insultes et la rancoeur, l'accueil fut bof-bof.
Puis Lucas Levrel commença le calcul sur les bases que j'avais données, pour comparer les accélérations d'origine gravitaire et d'origine inertielle qui agissent sur les océans, par la présence de la Lune.
On sort de l'étagère le CRC Handbook of Chemistry and Physics, de 3163 g, pages F-176 à F-178.
Après correction de l'erreur de principe, voici le résultat.

Première approximation : on néglige l'excentricité de l'orbite lunaire.

Partie gravitationnelle :

Constante de gravité de la Lune :
G = 66,726 x 10^-12 m³/(kg.s²)
M = 7,354 x 10²² kg
MG = 4,907 x 10¹² m³/s²

On prendra la distance moyenne Terre-Lune égale au demi-grand axe :
D = 3,844 . 10⁵ km = 3,844 . 10⁸ m.

On rassemble ses souvenirs de division des polynômes :
1 / (1 + 2x + x²) = 1 - 2x + 3 x² - 4 x³ + ...

1 / (1 - 2x + x²) = 1 + 2x + 3 x²+ 4 x³ + ...

Entre le point le plus éloigné de la Lune et le cercle à distance médiane
1/(D+R)² - 1/D² = 1/D²(- 2R/D + 3 (R/D)² - 4 (R/D)³ + ...)

Pour les raisons développées ci-dessous, on considère un rayon terrestre proche du rayon équatorial : R = 6375 km
R/D = 0,01658.
(R/D)² = 275 x 10^-6
1/D² = 6,7676 x 10^-18 m^-2.
1/(D+R)² - 1/D² = 6,7676 x 10^-18 m^-2 x (- 0,03316 + 0,000825 - 0,000018 +...) = - 0,03235 (6,7676 x 10^-18 m^-2) = - 2,189  x 10^-19 m^-2.

On a donc une différence d'accélération gravitationnelle de : 1,074  x 10^-6 m.s^-2 en moins vers la Lune, donc en centrifuge terrestre, au point opposé à la Lune.


Entre le point le plus proche de la Lune et le cercle à distance médiane
1/(D-R)² - 1/D  = 1/D²(+ 2R/D + 3 (R/D)² + 4 (R/D)³ + ...) = 0,03400 (6,7676 x 10^-18 m^-2) = 2,301  x 10^-19 m^-2.

On a donc une différence d'accélération gravitationnelle de 1,129 x 10^-6 m.s^-2 en plus vers la Lune, donc en centrifuge terrestre, au point le plus proche de la Lune.

A comparer à présent avec la partie inertielle des accélérations, vues dans le repère terrestre (donc impropre).

Partie inertielle :
CRC Handbook of Chemistry and Physics, page F-178 :
Moon Sideral Period of revolution : 2.36055 . 10⁶ s.
[tex]\omega[/tex] = 0,000002661 rad/s
[tex]\omega^2[/tex] = 7,0849 . 10^-12 s^-2.

Rapport des masses :
Terre : 5,979 x 10²⁴ kg
Lune :  7,354 x 10²² kg
CRC Handook, F-176.
Ratio : 81,303
L = D/82,303.
Moyenne Terre-Lune : 3,844 . 10⁵ km = 3,844 . 10⁸ m.
CRC Handbook, F-177.
R = 6 371 km rayon moyen.
Mais comme l'orbite de la Lune s'éloigne peu du plan de l'équateur terrestre, il serait moins faux de prendre le rayon équatorial :
6378 km.
Cote mal taillée à 6375 km.

L = 4 670,6 km = 4 670 600 m.

Distances au centre d'inertie :
Le plus proche : R - L = 1704 km.
Le plus lointain : R + L = 11046 km.

Centrifugations respectives :
1,207 x 10^-5 m/s² au plus proche.
7,826 x 10^-5 m/s² au plus lointain,

C'est bien la cause majoritaire, surtout à l'opposé de la Lune.

Donc les causes de la marée sont les accélérations suivantes, inertielles largement majoritaires, gravitationnelles très minoritaires :
côté Lune :
1,129 x 10^-6 m/s² + 12,07 x 10^-6 m/s² = 13,2 x 10^-6 m/s²
Côté opposé à la Lune :
1,074  x 10^-6 m/s² + 78,26 x 10^-6 m/s² = 79,33 x 10^-6 m/s²

En conclusion la vidéo donnée en lien ci-dessus est à demi fausse, tandis que la marée du Baccalauréat - tout gravitationnel -, vraisemblablement due à Isaac Newton, est farpaitement fausse.
Dire que je m'y attendais serait mentir. La surprise est totale.

De toutes manières, sur le terrain réel, cette masse d'eau inerte oscille selon les lois ondulatoires de l'hydraulique par fonds faibles (faibles devant la longueur d'onde), avec dissipation, sur des bassins compliqués, très compliqués.

Il reste à recommencer ces calculs en tenant compte de l'excentricité de l'orbite lunaire.

[JacquesL]

On recommence le calcul pour la marée due au Soleil, exclusivement gravitationnelle.

Première approximation : on néglige l'excentricité de l'orbite terrestre.

Partie gravitationnelle :

Constante de gravité du Soleil :
G = 66,726 x 10^-12 m³/(kg.s²)
M = 1,991 x 10³⁰ kg
MG = 1,3285 x 10²⁰ m³/s²

On prendra la distance moyenne Terre-Soleil égale au demi-grand-axe :
D = 1,4957 . 10⁸ km = 1,4957 . 10¹¹ m.

Division des polynômes :
1 / (1 + 2x + x²) = 1 - 2x + 3 x² - 4 x³ + ...
1 / (1 - 2x + x²) = 1 + 2x + 3 x²+ 4 x³ + ...

Entre le point le plus éloigné du Soleil et le cercle à distance médiane
1/(D+R)² - 1/D² = 1/D²(- 2R/D + 3 (R/D)² - 4 (R/D)³ + ...)

Pour les raisons déjà développées ci-dessus, on considère un rayon terrestre proche du rayon équatorial : R = 6375 km
R/D = 0,0000426222 = 42,6222  x 10^-6
2R/D = 85,2443  x 10^-6
(R/D)² = 1,81665 x 10^-9 (pratiquement négligeable).
3(R/D)² = 5,450 x 10^-9
1/D² = 4,4700 x 10^-23 m^-2.
1/(D+R)² - 1/D² = 4,4700 x 10^-23 m^-2 x (- 85,2443  x 10^-6 + 5,450 x 10^-9) = - 0,000085239 (4,4700 x 10^-23 m^-2) = - 3,8102  x 10^-27 m^-2.

On a donc une différence d'accélération gravitationnelle de : 0,5062  x 10^-6 m.s^-2 en moins vers le Soleil, donc en centrifuge terrestre, au point où le Soleil est au Nadir.


Entre le point le plus proche du Soleil et le cercle à distance médiane.
La différence est petite.
1/(D-R)² - 1/D² = 4,4700 x 10^-23 m^-2 x ( 85,2443  x 10^-6 + 5,450 x 10^-9) =  0,000085250 (4,4700 x 10^-23 m^-2) =  3,81066  x 10^-27 m^-2.

On a donc une différence d'accélération gravitationnelle de : 0,50625 x 10^-6 m.s^-2 en plus vers le Soleil, donc en centrifuge terrestre, au point où le Soleil est au Zénith.

La fondamentale de période 24 h est pratiquement absente de l'excitation de marée solaire : 1/10 000.
Seule est présent l'harmonique 2 ( et très faiblement d'autres harmoniques pairs), de période 12 h.

Il me semble qu'on nous avait enseigné exactement l'inverse...

[JacquesL]

Hé bien c'est pas tout ça, mais les bases de ces calculs sont erronées.
Tant pour la réaction d'inertie centrifuge des océans terrestres autour du centre d'inertie Terre-Lune, que pour son mouvement en orbite solaire, nous avons négligé la rotation propre de la Terre. Joyeuseté géométrique : aucun de ces trois mouvements ne sont coplanaires deux à deux. La moindre erreur est entre l'orbite lunaire et le plan de l'écliptique : 5° 9'.

Or depuis les calculs autour de Coriolis, nous savons que cette rotation terrestre induit le maximum de surprises inertielles dans notre repère terrestre.

Cos 5° 9' = 0,996.
Donc en première approximation on peut négliger l'écart à 1.
La rotation terrestre est dans le même sens que le parcours de l'orbite lunaire autour de la Terre, vers l'Est. Ou vu par l'observateur au pôle Nord, dans le sens de rotation trigonométrique.

On ne peut pas ajouter des vitesses angulaires dont les droites invariantes sont distinctes, mais on peut ajouter des vitesses linéaires.

Et on peut ajouter des courbures, en 1/R. Ce qu'on peut ajouter vectoriellement ce sont les accélérations, plus Coriolis s'il y a lieu.
Or l'accélération transversale est en [tex]- \frac {V^2} {\vec R}[/tex]
Accélération orbitale de la Terre : 29,8 km/s x 29,8 km/s / 1,49 . 10⁹ m : 0,005916 m/s².
A projeter sur le plan équatorial, par cos(23,43°) = 0,91755
Accélération orbitale projetée : 0,0054285 m/s².
Accélération de rotation terrestre à l'équateur : 0,03392 m/s².
La suite est faite dans les cas de premier quartier ou dernier quartier.
Somme à minuit : 0,039348 m/s²
Différence à midi : 0,028491 m/s²
Différence minuit - midi : 0,0010857 m/s².
Voilà la partie inertielle de la force de marée solaire, de périodicité 24 h.

A comparer avec la partie gravitationnelle, calculée ci-dessus : 0,50625 x 10-6 m.s-2, qui est 2144 fois plus faible - dans la limite des approximations saisonnières, non négligeables.

[Serma]

Bonjour !

Je sais bien qu'on nous cache tout mais je trouve bizarre que les effets inertiels soient si rarement mentionnés. Même le grand Poincaré semble être passé à côté du phénomène ! Et puis, chacun peut bien observer que la lune a une influence majeure sur les marées, non ?

J'ai quand même trouvé une source qui évoque la question. Il s'agit de David Morin dans son Introduction to Classical Mechanics (http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/book.html).
J'ai extrait quelques bonnes pages dans la pièce jointe (voir remarque 3).

L'auteur confirme que les effets inertiels dominent les forces de marée mais... que ça ne joue pas sur les marées parce que le renflement créé est fixe par rapport à la terre alors que le ballon de rugby l'ellipsoïde créé par le différentiel d'attraction est mobile.

Ce n'est pas plus mal parce que le renflement dû aux forces inertielles se mesure en kilomètres tandis qu'on parle de quelques mètres pour les marées.

Voilà la conclusion de l'auteur :
To sum up: with the tidal force (which we define as the force that produces the tides), we are not concerned with the total difference in force between a point on the earth and the center, but rather only with the part of the difference that isn't invariant under rotations of the earth.

Ceci dit, il paraît que la figure qui illustre traditionnellement le phénomène de marée est effectivement fausse : http://mpt2013.fr/anatomie-dune-figure-fausse/

Nota : Impossible d'attacher le fichier pour l'instant. J'essaierai plus tard.

[Serma]

Au fait, quelqu'un pourrait-il indiquer où trouver le sujet du bac en question ?

Merci !

[JacquesL]

Merci de votre intervention, qui relève l'intérêt du débat.
Je suis en train de refaire ces calculs avec lenteur, beaucoup de lenteur : mes bases en géométrie analytique sont bien anciennes.
La Terre suit une trochoïde raccourcie dont la période est d'environ 26,9° de son orbitation, tandis que le barycentre Terre-Lune orbite régulièrement. Il en résulte des variations de vitesse et de courbure de trajectoire, qui sont les vraies responsables des termes diurnes, et même du gros du premier harmonique semi-diurne, aussi bien pour les périodicités solaires que lunaires.
Alors que selon la théorie tout-gravitationnel datant du 17e siècle, il n'y a pratiquement rien pour exciter le mode diurne, pourtant dominant dans tout le Pacifique, l'Océan Indien, la Mer de Chine, l'Arctique.

Je maintiens que David Morin, que je vous remercie de m'avoir fait connaître, a gouré son self : il n'a juste pas fait les calculs.

Je ne suis pas non plus d'accord avec le déphasage d'exactement 90° affirmé par Frédéric Chambat, qui à mes yeux surestime grossièrement le facteur de qualité du résonateur, le bassin océanique. Il faudra y revenir en y consacrant plus de temps.

[Serma]

Copie miroir du message du 06/10/2013 de http://deontologic.org/deonto-famille/citoyens/debattre/index.php/topic,2040.msg4392.html
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Bonsoir,
Bonne nouvelle, l'extraordinaire Tadashi Tokieda a fait de l'excellente physique autour des marées.
Sa page web est https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tokieda/index.html.

L'article sur les marées : "Tides: a tutorial" https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tokieda/publications/LNP_tides12.pdf.zip

À lire, son exposé du mercredi 22 (août 2012) à Lyon à découvrir sur http://www.issmys.eu/scientific-information/lectures-notes/invitation-to-simple-modeling-of-complex-phenomena-by-tadashi-tokieda.
En peu de mot il démontre le déphasage de 90° affirmé par Frédéric Chambat.

Ledit Frédéric m'a aimablement envoyé un lien vers son cours : http://frederic.chambat.free.fr/ens/gravi/cours.pdf. Il y traite la question des marées de façon tout à fait rigoureuse en tenant compte de (presque) toutes les rotations.

Bonne lecture !

[JacquesL]

Et l'accélération complémentaire de Coriolis solaire ?
Pulsation orbitale : 1 tour/an = 199,1 . 10^-9 rad/s.
Projection sur l'écliptique de la vitesse diurne à l'équateur : 442 m/s
Accélération de Coriolis : 168 µm/s² à l'équateur.
Son sens ? Vers le haut ou vers le bas autour des tropiques, comme le terme principal.
Particularité : prend une projection horizontale à mesure que la latitude augmente. Ne prend une orientation superficielle notable Nord-Sud ou Sud-Nord qu'aux hautes latitudes (en sinus (latitude)), mais justement la vitesse diurne baisse en cosinus(latitude). Le résultat est en sinus(2 x latitude). Ce qui explique que la marée solaire devienne non négligeable dans l'Océan Arctique et autour du détroit de Behring. Vers le Nord en Arctique à midi, vers le Sud à minuit.

La contribution de Coriolis demeure en tout fort faible, comparée à la composante principale mentionnée plus haut 168 µm/s² devant 5 428 µm/s²

[JacquesL]

Voir Eric Ballaux :  http://le-cep.org/archive/CEP_08.pdf
Intellectuellement, la nouveauté qu'on aurait dû voir bien avant : c'est mesurable. Le mécanicien se sent soudain moins seul avec ses calculs.
Il reste à accéder aux campagnes de mesures.