BibNum diffuse ce pdf : analyse-euler.pdf à l'adresse https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/analyse-euler.pdf
Adresse de l'original d'Euler :
https://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/texte-euler.pdf
CiterEuler en défense de Maupertuis à propos du principe de moindre action
par Jean-Jacques Samueli, docteur ès sciences physiques
& Alexandre Moatti, ingénieur en chef des mines, chercheur associé à l'université
Paris VII-Denis Diderot (UMR SPHERE 7219)
Où je remarque une intéressante mise en forme mathématique de l'action maupertuisienne selon l'idée originelle de Maupertuis :
CiterMaupertuis définit l'action comme suit :
L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par
l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être
suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité
d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit
possible.
Comme l'indique Jean-Louis Basdevant, « il s'agit en fait de la circulation de
la quantité de mouvement le long de la trajectoire », soit A :
A = [tex]\int \vec{m.v}.\vec {dl}[/tex]
De nos jours, l'action est définie en mécanique lagrangienne comme
l'intégrale de la différence entre énergie cinétique et énergie potentielle :
On appelle Lagrangien la quantité intégrée ci-dessus, soir L = K – V, où K
est l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle.
Probablement en accord en cela avec feu Louis de Broglie, je trouve la formulation originelle plus féconde. D'une part elle se raccorde naturellement au moment angulaire, d'autre part avec le principe de Fermat, selon lequel les trajets réels sont ceux par lesquels tout arrive ensemble à la même phase.
La quantité de mouvement est proportionnelle et à la fréquence temporelle, et surtout à la fréquence spatiale, ou "nombre d'onde".
Rappelons l'adresse où télécharger la thèse de Louis de Broglie :
http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/en/
puis
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/document
Problème sérieux, qui reste non résolu :
L'action maupertuisienne est un produit scalaire de deux vecteurs. Maximisée quand le vecteur déplacement et le vecteur impulsion sont colinéaires. OK pour une onde progressive.
Le moment angulaire est un produit extérieur, maximisé quand le vecteur impulsion et le rayon vecteur sont perpendiculaires, tenseur de rang deux. Il y a là une contradiction qui mérite une mise en examen.
http://deontologic.org/quantic/index.php?title=Quantum_d%27action
Or chaque spin, spin d'électron par exemple, ne requiert aucune sorte de rayon vecteur. Seul est commun une dissymétrie par rapport à l'environnement, dissymétrie en rotation. Il faut donc aboutir à une redéfinition du moment angulaire.
Superficiellement, il y a parenté entre la définition maupertuisienne, et l'usage qu'en fit Louis de Broglie dans sa thèse de 1924 : la phase de l'onde électronique boucle autour du noyau en une circonférence d'orbite de Bohr, ce qui réalise une auto-quantification. En réalité, c'est là une propriété d'un fermion, de spin 1/2, qui a donc un bouclage irréductible, ici autour du noyau, ou autour de lui-même. Le photon transporte un quantum de bouclage, le plus souvent d'un électron d'atome à un autre électron d'atome.
Heureusement, l'électron a quatre composantes. Elles peuvent donc bien boucler deux à deux en sens contraire, sans moment orbital global. Cela fait octante-six ans que les Göttingen-Københavnists n'ont toujours pas assimilé les conséquences concrètes de l'équation de Dirac.