Accélération de Coriolis et inertie : un échec pédagogique sanglant.

[JacquesL]

Un échec pédagogique sanglant : comment les autres professions, utilisatrices de mécanique, et les vulgarisateurs enseignent Coriolis et ses effets en océanographie et en météorologie.

Voyons un exemple éduqué, par quelqu'un qui a fait des études supérieures :
http://archimer.ifremer.fr/doc/1960/publication-4282.pdf

Nous savons en effet que. d'une façon générale, un courant qui passe sur un haut fond augmente de vitesse en s'infléchissant vers la droite sous l'effet de l'accélération de Coriolis, tandis que sa vitesse diminue au-dessus des plus grands fonds, le mouvement étant alors dévié vers la gauche.

Si ça c'est ce qu'écrit un scientifique formé, mais pas à la mécanique, alors mieux vaut vous passer sous silence les torrents d'insultes et d'inepties que nous lancent les populistes ignorants, c'est à vomir. Revenons aux affirmations de ce Charles Allain.

Précisons qu'il s'agit des courants en Méditerranée, donc il est acquis que c'est entièrement dans l'hémisphère Nord.
L'affirmation "le courant est dévié vers la gauche en passant sur les grandes profondeurs" est juste fausse, contrafactuelle.
Mais l'affirmation précédente, qu'un courant s'infléchisse vers la droite sous l'effet de l'accélération de Coriolis est contradictoire avec les définitions, et est caractéristique d'un enseignement de la mécanique sous monopole de matheux, qui crassussent (recopient) bovinement les errements du plus ancien dans le grade le plus élevé, qui lui-même les tenait de, etc.

L'accélération de Coriolis, c'est celle qu'une liaison de guidage impose à un mobile pour qu'il ne suive pas une trajectoire inertielle, mais demeure sur une trajectoire orthodromique, celle qui semblait irréprochable à l'observateur qui ignore que la Terre tourne, et n'est donc pas un repère galiléen.
Tandis qu'une trajectoire inertielle échappe au contraire à l'accélération de Coriolis, et s'infléchit par rapport à l'orthodromie terrestre : elle s'infléchit en tournant non pas comme la Terre par rapport au ciel, mais comme la voûte céleste par rapport à la Terre. Tel est le cas d'une chute libre à l'équateur : il y a conservation de la composante Est de la quantité de mouvement, mais diminution du rayon de giration, donc augmentation de la vitesse angulaire et déviation vers l'Est, à l'Est de la verticale locale statique. La courbure de la trajectoire apparente (terrestre) du mobile est conforme à celle de la trajectoire apparente des étoiles pour l'observateur terrestre.

Les matheux n'aident pas quand ils donnent la formule avec deux produits "vectoriels", où par deux fois intervient une convention arbitraire et anti-physique, genre :

l'accélération de Coriolis :   [tex]2\vec{\Omega}\wedge\frac{\delta\vec{r}}{\delta t} [/tex]

Le grand public sait dans quel sens tourne la Terre par rapport au ciel, mais ignore si les matheux qui remplacent cet être de rotation par un être vectoriel, font pointer le dit vecteur vers le pôle Nord ou vers le pôle Sud, et ignorent aussi dans quel sens orienter l'accélération qui résulte de ce produit aberrant. Pile ou face, c'est aussi sûr.

Réécriture en notations cohérentes (tensorielles, donc).

Or ces mathématiques ci-dessus - de surcroît sur bases incohérentes - sont assez inutiles puisque dans quatre cas sur six le principe général de conservation du moment angulaire suffit à prédire les trajectoires inertielles réelles, par rapport au repère terrestre. Pour les deux cas non couverts par la conservation du moment angulaire, c'est la composition des vitesses angulaires qui donne la réaction d'inertie centrifuge corrigée. Il va suffire de prendre le référentiel terrestre, d'examiner deux situations, l'une à l'équateur, l'autre près du pôle Nord, et les trois directions de vitesses : vers le bas, vers le Sud, vers l'Est. Puis il ne restera plus qu'à résumer cela mathématiquement.

A l'équateur

Chute verticale, donc diminution du rayon, augmentation inversement proportionnelle de la vitesse angulaire totale pour maintenir le moment angulaire constant, si la chute est non contrainte ==> déviation vers l'Est.
Vitesse vers le Sud : effet nul.
Vitesse vers l'Est : augmentation de la vitesse angulaire totale ==> déviation vers le haut (par inertie centrifuge accrue).
A la limite, regarder les satellites géostationnaires.


Près du pôle Nord

Chute verticale : effet nul.
Vitesse vers le Sud : augmentation du rayon, donc ralentissement de la rotation pour maintenir le moment angulaire constant, déviation vers l'Ouest.
Vitesse vers l'Est : augmentation de la vitesse angulaire totale ==> déviation vers le Sud (par inertie centrifuge accrue).

  Calcul quantitatif

Il semble que des lecteurs aient des difficultés avec ce coefficient 2, en provenance du développement du carré d'une somme, d'où la période de parcours de cercle inertiel de 11 h 58 mn à la limite des hautes latitudes et basses vitesses, soit la moitié de la période stellaire de la Terre, ce qui ne manque pas de surprendre.

Vitesse tangentielle

Commençons par le cas facile, de la vitesse Est-Ouest, où les vitesses angulaires, de la Terre et du mobile par rapport à la Terre sont coplanaires, donc s'ajoutent algébriquement. On va les noter par une seule lettre chacune, [tex]\Omega[/tex] et [tex]\omega[/tex], et en module seulement.
Vers l'Ouest :
[tex]\Omega_{total}^2 = (\Omega - \omega)^2 = \Omega^2 - 2.\Omega.\omega + \omega^2.[/tex]
Vers l'Est :
[tex]\Omega_{total}^2 = (\Omega + \omega)^2 = \Omega^2 + 2.\Omega.\omega + \omega^2.[/tex]
Donc ne considérer que le premier terme du développement limité, en [tex]2.\Omega.\omega[/tex], n'est valide que jusqu'à [tex]\omega[/tex] valant 8 à 10 % de [tex]\Omega[/tex]. C'est donc très vite invalide pour un missile, un obus, une balle de mousquetterie, et d'autant plus que la latitude est élevée.


Vitesse radiale

A la distance r de l'axe polaire, une vitesse radiale de dr/dt modifie le moment angulaire, ce qui non seulement modifie l'accélération centripète imposée par la liaison, mais aussi exige une intervention tangentielle par le système de guidage, pour augmenter (dr/dt > 0) ou diminuer (dr/dt < 0) le moment angulaire et l'énergie cinétique du mobile.
Notons A le quotient du moment angulaire initial par la masse du mobile : r². [tex]\Omega[/tex].
A' le moment angulaire massique final = [tex](r+dr)^2. \Omega[/tex],
A'-A =  [tex]\Omega.(2.dr +dr^2)\ = \ 2.\Omega.dr[/tex].
Cette différence a été obtenue par le moment moyen de l'accélération de Coriolis, durant le temps dt :  [tex]\gamma_C.r.dt[/tex]
D'où  [tex]\gamma_C = 2.\Omega.\frac{\delta{r}}{\delta t}[/tex], avec le signe + vers l'Est pour dr/dt > 0.


Mise en forme mathématique

Accélération de Coriolis imposée par les liaisons de guidage avec le repère non galiléen en rotation : [tex]2\breve{\Omega}.\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}[/tex]
(où [tex]\breve{\Omega}[/tex] désigne la vitesse angulaire de la Terre par rapport aux étoiles fixes, et [tex]\vec{r}[/tex] désigne la position dans le repère terrestre, donc [tex]\frac{\delta\vec{r}}{\delta t}[/tex] désigne sa vitesse dans le repère terrestre)
et elle est mesurée avec un accéléromètre qui soit assez sensible pour les conditions expérimentales choisies.
Pourquoi le coefficient 2 ? Parce qu'on développe le carré d'une somme de vitesses angulaires, et que l'accélération centripète en mouvement circulaire (à trajectoire contrainte, donc) est proportionnelle au carré de la vitesse angulaire (totale).
[tex]\breve{\Omega}[/tex] est un tenseur antisymétrique de rang deux (ce qu'il vaut mieux désigner de façon plus brève en "tourneur" par opposition à "vecteur"). Il est contenu dans la direction de plan équatoriale, et son sens de rotation est le sens terrestre de rotation. Fin des conventions arbitraires et anti-physiques, fin de l'interdiction des changements de base non orthonormés qui faisaient tout sauter, l'outil tensoriel fait tout ce qu'il a à faire, et il le fait correctement, lui.

Alors qu'au contraire le mouvement inertiel libre (celui qui peut échapper à l'accélération de Coriolis) tourne par rapport au repère terrestre comme la voûte du ciel par rapport à la Terre, et il se constate avec des bouées dérivantes dans la mer, ou des ballons-sondes dérivants, dans l'atmosphère.


Application aux courants de la Méditerranée
Lien pour les documents :
http://e-cours.univ-paris1.fr/modules/uved/envcal/html/oceans/2-exemples-phenomenes-physiques/tsm-courants-marins-surface/2-2-circulation-oceanique-mediterranee.html

La grande complexité se réduit à trois principes simples :
a. Le moteur est Gibraltar : entrée d'eaux Atlantiques de surface pour compenser l'évaporation méditerranéenne.
b. Le jet ENE (Est-Nord-Est) imposé par la côte de Ceuta, s'infléchit vers le Sud, en partie par inertie, dite "Coriolis" par le discours dominant, en partie aussi par rencontre avec le courant côtier SW qui revient par la côte de Murcie. Il bute alors sur la côte marocaine, et est contraint par la côte du Maghreb d'une part, puis par la côte Levantine, puis par la côte turque, d'autre part par les côtes siciliennes, puis italiennes, puis françaises et espagnoles à subir l'accélération de Coriolis, à longer les côtes.
c. Dans le détail interviennent les lois ordinaires de la circulation turbulente, avec contre-courants dans les criques et les golfes ; ce que connaissent tout kayakiste et tout canoéiste pratiquant l'eau vive, et que les marins connaissent aussi dans le golfe du Morbihan, et dans les rias et abers bretons.

[JacquesL]

Effectuons à présent les calculs explicites, d'abord en coordonnées cartésiennes, ensuite en coordonnées cylindriques.

Choisir un système d'axes.
Il semble naturel de prendre pour axe z un zénith à un pôle. Quel pôle, Sud ou Nord ? Aucune espèce d'importance : les coordonnées du tourneur vitesse angulaire de la Terre n'en seront pas affectées.
Prenons le zénith Nord, puisque la majeure partie de la population est dans l'hémisphère Nord.
Pour axe x, évidemment la direction du méridien zéro de Greenwitch.
Pour axe y, 90° Est ou 90° Ouest ? Plouf-plouf !
Choisissons y dans les fuseaux horaires croissants, le fuseau + 6 qui passe par le Bengla Desh, donc 90° Est.
Ce trièdre Oxyz est-il direct ou pas ? On s'en fout, on n'est plus dirigés par Oliver Heaviside.

Quel est le module du tenseur (= ici "tourneur") vitesse angulaire de la Terre ? [tex]\Omega[/tex] =1 tour par jour sidéral = 1 tour/86164,09 secondes = 72,92  micro-radian/seconde, de nos jours.
Ses coordonnées dans ce repère : [tex]\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}[/tex]

Application à une vitesse de 1 m/s en direction y :

Coordonnées de [tex]\vec{\gamma_C}[/tex] dans cette base = [tex]2.\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-1}[/tex] = [tex]145,84. 10^{-6}.\begin{bmatrix}-1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-2}[/tex]

Et pour une vitesse de 1 m/s en direction  x :

Coordonnées de [tex]\vec{\gamma_C}[/tex] dans cette base = [tex]2.\Omega.\begin{bmatrix}0 &1 &0\\-1 &0 &0\\0 &0 &0 \end{bmatrix}. \begin{bmatrix}1 \\0 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-1}[/tex] = [tex]145,84. 10^{-6}.\begin{bmatrix}0 \\1 \\ 0 \end{bmatrix} m.s^{-2}[/tex]

Telles sont les accélérations de Coriolis imposées par les liaisons de guidage liées à la Terre, pour imposer au mobile une trajectoire non inertielle. On aura remarqué qu'elles sont indépendantes de la position du mobile.

On aura remarqué que l'unité physique "radian" a disparu des notations tensorielles, puisque sa signification "quotient de deux longueurs perpendiculaires, ou de deux grandeurs en quadrature de phase" est directement prise en compte par l'écriture complète des coordonnées.

On aura remarqué aussi que les coordonnées selon z ne sont jamais intervenues. Seule intervient la projection du vecteur vitesse dans la direction de plan équatorial xy. Le tourneur [tex]\breve\Omega[/tex] et l'accélération [tex]\vec{\gamma_C}[/tex] sont toujours dans la direction du plan équatorial.

[JacquesL]

On aura remarqué que le ratio entre l'accélération transverse de Coriolis et la vitesse est une constante.
Ce qui implique, au moins pour les hautes latitudes où la surface terrestre diffère peu d'un disque tournant, que la trajectoire inertielle (échappant à Coriolis donc, et semblant à l'observateur terrestre obéir à une accélération opposée à celle de Coriolis) est circulaire. De quel rayon ?
La formule ne nous donne d'abord que la période de bouclage de ce cercle ou quasi-cercle, dans l'approximation circumpolaire, et limité au cas des vitesses angulaires ajoutées faibles devant la vitesse angulaire de la Terre :
[tex]T = \frac 1 \nu = \frac {2.\pi} \omega = \frac \pi \Omega[/tex] = 11 heures 58 minutes.
Il est remarquable que cette période ne dépend pas de la vitesse. Autrement dit des masses d'air ou d'eau auront sous cet effet d'inertie, dit Coriolis, des déplacements similaires à des rotations de solides : tout le monde a la même vitesse angulaire, donc la même période de révolution. Aux limites près, évidemment.

Sachant la vitesse [tex]v[/tex], on en déduit le rayon :
[tex]R = \frac v {2\Omega}[/tex]

Extension à toutes latitudes, dans un cadre météorologique.
On admettra qu'en météorologie, et presque aussi bien en océanographie, la liaison au sol par la gravité est holonome, ne travaille pas, ne frotte pas... Les déplacement ne se font que parallèlement au sol, que nous idéaliserons comme sphérique, voire géoïdal. Seule la projection des accélérations de Coriolis sur l'horizontale locale est efficace, de module [tex]2.\Omega.v.sin(\phi)[/tex].
où [tex]\phi[/tex] est la latitude.

A toute vitesse, ce rayon de courbure devient infini à l'équateur :
[tex]R(\phi) = \frac v {2\Omega.sin(\phi)}[/tex]

La période aussi augmente comme la cosécante de la latitude :
[tex]T(\phi) = \frac {11 h 58'}{sin(\phi)}[/tex]

Exercice :
Si l'on vous dit que la veine de courant jaillissant du détroit de Gibraltar a une vitesse de 1 noeud, calculer le rayon de courbure que l'inertie seule lui ferait prendre dans la mer d'Alboran, sans autres contraintes aux limites, pour le ramener à longer les côtes marocaines. Ce sera de toutes façon un ordre de grandeur valide.
Approximation : 1 noeud = 0,514 m/s.
Latitude : 36° N.

[JacquesL]

> Page
> http://fr.wikipedia.org/wiki/Force_de_Coriolis#Balistique_et_cercles_inertiels
> :
>
>>         [tex]\,R = v/f[/tex]
>>
>>             Où [tex]\begin{cases} f\ est\ la\ projection\ horizontale\ de\ la\ force\ de\ Coriolis \\ \phi = latitude \\ f = -2 sin(\phi)\Omega(t) \end{cases}[/tex].
>
> "force de Coriolis" signifie en fait "opposé de l'accélération de Coriolis", et non pas force.
>
> Etonnez-vous avec ça que le grand public soit égaré par les grands maîtres...

Bien sûr, il y a une solution, et de mon vivant j'ai vu corriger ainsi plusieurs problèmes d'habitudes de langage impropres en chimie. Est-ce impossible de se corriger dans l'enseignement de la mécanique ?

A l'accélération centripète (si trajectoire imposée courbe) s'oppose l'inertie anti-centripète (Exit "force centrifuge").
A l'accélération de Coriolis imposée par les liaisons de guidage, s'oppose l'inertie anti-Coriolis (Exit "force de Coriolis").

C'était simple, mais il semblerait que le public éduqué soit éduqué à ne pas y penser.

Sans difficulté, l'accélération, c'est ce qui se décèle et se mesure avec un accéléromètre. Tandis que les trajectoires purement inertielles (non-Coriolis, par exemple) se constatent avec des marqueurs de position, tels que des balises flottantes, des ballons-sonde à altitude (par rapport au sol) constante et stable sur plus de dix heures, etc.

Autre problème déjà cité ici, d'habitude de langage désastreuse : par anthropocentrisme, on désigne "accélération de la pesanteur" dans le repère terrestre, l'inertie d'un corps d'épreuve dégagé de liens avec le repère terrestre, sans sol, sans poussée d'Archimède. Ce qui fait une accélération vers le bas. Or la cohérence avec les comportements constatés de tous les accéléromètres exige au contraire de prendre pour repère de référence un repaire de Lemaître, en chute libre, suivant une géodésique de la Relativité Générale. En effet les accéléromètres, par exemple un pendule pesant, par exemple un niveau à bulle, par exemple un niveau à bille d'aviation, indiquent tous la somme des accélérations du mobile par rapport au repère terrestre, et du repère terrestre par rapport au repère de Lemaître.

Donc ce qu'indique un accéléromètre posé sur un astre massif, par exemple à la surface de la Terre, est l'accélération de contre-gravité, imposée par les liaisons avec la surface de cet astre. Tandis que ce qui va vers le bas, c'est de l'inertie, nous le savions depuis 1916.

Là remuer les habitudes va être lourd, car la plus grande force dans l'enseignement des sciences, c'est bien la force de l'habitude.

[JacquesL]

On me signale, et avec raison, que la projection verticale de l'accélération de Coriolis est décelable avec un accéléromètre, et est connue sous le nom de correction d'Eötvös à la gravité apparente, pour les vitesses de mobiles (navires ou aéronefs) vers l'Est ou vers l'Ouest.
http://en.wikipedia.org/wiki/E%C3%B6tv%C3%B6s_effect

    [tex]a_r = 2 \Omega .u. \cos \phi + \frac{u^2 + v^2}{R}[/tex].
Où
    [tex]\Omega[/tex] est la vitesse angulaire de la Terre.
    [tex]u[/tex] est la coordonnée de la composante de la vitesse le long d'un parallèle, soit direction Est-Ouest.
    [tex]\phi[/tex] est la latitude.
    [tex]v[/tex] est la coordonnée de la composante de la vitesse le long d'un méridien, soit direction Nord-Sud.
    [tex]R[/tex] est le rayon de la Terre.

Le premier terme du développement, [tex]2\Omega.u.cos(\phi[/tex]), correspond à la correction d'Eötvös. Le terme du second degré est dans la plupart des circonstances nettement plus petit que la correction d'Eötvös du premier degré.


On me pose la question : influence sur les cellules de Hadley (convergences intertropicales, contre-alizés, hautes pressions subtropicale Sahara-Açores, alizés) ?
Oui pour leur stabilité, la bonne séparation verticale entre alizés et contre-alizés, mais de quel ordre de grandeur ?
Prenons 36 km/h pour la composante Est-Ouest = 10 m/s.

Les signes = qui suivent désignent en réalité des approximations.
[tex]a_r[/tex] = 20 m/s .  [tex]\Omega [/tex] = 72,92 . 20 µm/s²  = 0,00145 m/s².
C'est très faible devant g : 9,91 m/s².
C'est négligeable devant les effets du moindre gradient thermique vertical.