Nombres abstraits vs nombres "concrets"

[JacquesL]

Nombres abstraits vs nombres "concrets"

http://michel.delord.free.fr/banff.pdf
http://michel.delord.free.fr/captain1-0.pdf

Une autre approche que la mienne, concernant l'enseignement des grandeurs physiques, mais les convergences sont nombreuses.

Vous pouvez consulter tous les liens donnés par Delord, ils sont tous intéressants.


Extrait :

Analyse dimensionnelle et/ou Contrat didactique
Michèle Artigue, dans l'article cité, tire les leçons de la crise des maths modernes qui est
exactement le contexte qui m'intéresse. Elle en profite pour expliquer ce qu'est le contrat didactique
qu'elle présente comme "concept clé". Il est donc judicieux de s'intéresser à ce concept et l'utilisation
qui en est fait. Elle s'intéresse pour cela aux problèmes dits "d'âge du capitaine" posés à l'école
élémentaire dont elle donne plusieurs exemples :
" Dans une classe, il y a 4 rangées de 8 places, quel âge a la maîtresse ?
Dans une classe, il y a 15 garçons et 14 filles, quel est l'âge de la maîtresse?
Un berger a trois chiens et 120 moutons, quel est l'âge du berger ? ".
Et elle ajoute : " Et scandale ! On s'aperçut que les élèves de l'école élémentaire s'appliquaient
dans leur grande majorité, comme si de rien n'était, à résoudre ces problèmes, ne choisissant même
pas au hasard les opérations : la maîtresse était créditée de 32 ans dans le premier cas, de 29 dans le
second, le berger de 40 ans ...Cette aventure ... est certes caricaturale, mais elle a le mérite de
montrer jusqu'à quel point peut poser sur le fonctionnement cognitif de l'élève le poids du contrat
didactique, et l'intérêt qu'il y a à être sensible au rôle qu'il joue explicitement, et surtout
implicitement".
Dix ans après sa publication, ce texte n'a toujours pas été critiqué et l'on peut donc considérer
qu'il a une valeur centrale car son auteur est une spécialiste renommée des problèmes posés par
l'enseignement des mathématiques qui présente un concept qu'elle considère comme central de celleci.
Suivons donc l'analyse de M. Artigue : l'erreur des élèves vient du poids du " contrat didactique "
qui serait dans ce cas défini - consciemment ou inconsciemment- par le fait que " dans la quasi totalité
des problèmes scolaires, d'une part toutes les données nécessaires à la résolution sont fournies,
d'autre part toutes les données fournies sont utiles ".
Or, si l'on analyse les résultats donnés par les élèves
- dans le premier cas, ceux-ci ont multiplié un nombre de rangées par un nombre de
places et ont trouvé un âge : 4 rangées × 8 places = 32 ans
- dans le deuxième cas, ils ont ajouté un nombre de garçons et un nombre de filles et
ont trouvé un âge : 15 garçons + 14 filles = 29 ans
- dans le troisième cas, ils ont divisé un nombre de moutons par un nombre de chiens
et ont trouvé un âge : 120 moutons : 3 chiens = 40 ans
C'est à dire que, dans les trois cas cités, il y a incohérence du point de vue de l'analyse
dimensionnelle, c'est-à-dire une incohérence entre les unités utilisées dans l'opération et celle du résultat obtenu. Prenons le deuxième problème : le fait d'écrire 15 garçons + 14 filles = 29 ans prouve
simplement que l'on n'a pas appris à l'élève ce qu'est une addition.

Le sens de l'addition  : 15 garçons + 14 filles = 29 ans
En effet, quelle est la propriété de l'addition envisagée du point de vue de l'analyse
dimensionnelle, qui sont les mêmes que celles de la soustraction ? C'est-à-dire : "Quel devrait être le
résumé du contenu d'un cours sur cette question ?"
Propriété : On ne peut additionner que des grandeurs de même nature et on ne peut effectuer
l'opération que lorsque les termes sont exprimés dans la même unité.
Exemples :
On ne peut pas écrire 3 km + 5 kg car une distance et un poids ne sont pas des grandeurs de
même nature.
On peut par contre écrire 3 km + 5 hm car 3 km et 5 hm sont des distances c'est-à-dire des
grandeurs de même nature mais comme elles ne sont pas exprimées dans la même unité, on ne
peut pas effectuer 3+5 = 8. Par contre si l'on veut exprimer 3 km + 5 hm sous la forme d'une
grandeur (c'est-à-dire d'un nombre suivi d'une unité), on doit écrire, par exemple :
3 km + 5 hm = 30 hm + 5 hm = 35 hm.
On pourrait discuter assez longuement des justifications de chaque mot de ce cours de niveau
primaire et notamment de la définition de ce qu'est une grandeur : outre qu'elle est, à l'heure actuelle,
tout à fait conforme à un cours classique d'analyse dimensionnelle de première année de physique à
l'Université car
- elle s'appuie nommément sur James Clerck Maxwell (9) :
"L'expression d'une grandeur est le produit de deux facteurs dont l'un, qui est une grandeur de
même nature prise comme repère, s'appelle son unité, et dont l'autre, qui est le nombre de fois que
l'unité est contenue dans la grandeur, s'appelle sa valeur numérique"
- elle fait partie de ce qui est reconnu par les organismes de normes internationales , c'est-àdire
qu'elles font partie d'un langage universel – qui devrait intéresser ceux qui ne parlent que de
communication – par exemple dans la norme NF X02-003 de Décembre 1995 qui cite nommément
Maxwell :
"Normes fondamentales - Principes de l'écriture des nombres, des grandeurs, des unités et des
symboles"
Résumé :
Le présent document définit les principes de l'écriture des nombres, des grandeurs, des unités et
des symboles.
Une grandeur s'exprime, comme il est indiqué à l'article 6, par le produit d'un nombre (valeur
numérique) et d'une unité. Une telle expression permet :
-- de former les noms et les symboles des unités composées par l'application des règles de
l'algèbre ;
-- d'utiliser des formules entre grandeurs qui évitent toute erreur, malgré l'emploi éventuel
d'unités diverses
.
À côté des principes relatifs à l'écriture correcte des nombres entiers ou décimaux et des nombres
fractionnaires et à l'emploi des signes d'opération, le présent document énonce les règles de formation
des noms d'unités composées et de leurs symboles, à partir de l'équation de définition ou de l'équation
aux dimensions, définissant ainsi, en quelque sorte, les règles de grammaire des notations
scientifiques et techniques.10
Cette parenthèse justificatrice fermée, on peut dire que l'on doit apprendre à l'élève cette
propriété de l'addition en lui faisant remarquer que lorsqu'il a fait un calcul il doit s'assurer de la
cohérence dimensionnelle de celui-ci : en primaire cela prendra plutôt la forme du traditionnel " On
n'ajoute pas des serviettes et des torchons" ou "On n'ajoute pas des vaches et des cochons" bien que
ces formules classiques, qui sont, quand elles existent, les seuls restes d'analyse dimensionnelle dans
la pédagogie du primaire sont extrêmement mal choisies car elles superposent deux niveaux, celui du
non sens de l'écriture d'une somme et celui de l'impossibilité d'effectuer l'addition car les unités ne sont
pas identiques; en s'appuyant sur des objets qui peuvent être considérés comme "de même nature" car
les vaches et les cochons sont des "animaux". Il vaudrait beaucoup mieux deux phrase du type :
- " On ne peut ajouter des mètres et des litres " car les unités choisies font partie du SI et on ne
peut pas développer sur un tel exemple toute une philosophie aléatoire pour savoir si l'on a le droit ou
non d'écrire 3 vaches + 2 cochons suivant que l'on considère si ces délicats animaux sont ou non de
"même nature", et l'on a autant d'arguments pour dire que oui ( car ce sont des mammifères ou des
quadrupèdes) ou non ( car l'un est un ruminant l'autre pas, l'un a des cornes et l'autre pas ).
- "On ne peut effectuer l'opération que si les deux termes sont exprimés dans la même unité".

...
9
James Clerck Maxwel, A treatise on electricity and magnetism, Oxford, 1873, page 1.
10 http://www.boutique.afnor.fr/Boutique.asp?url=NRM%5Fn%5Fhome%2Easp&lang=French&btq=HOM&cookie%5Ftest=1