Intégrales de chemin : Comment Feynman a réinventé la roue, très mal...

[JacquesL]

Je n'ai pas ici l'ouvrage original (R. P. Feynman, Rev. Mod. Phys. 20, 367 (1948)), mais juste une introduction considérée comme bonne :
http://scitation.aip.org/getpdf/servlet/GetPDFServlet?filetype=pdf&id=CPHYE2000012000002000190000001&idtype=cvips

Oh il y a bien une fréquence citée dans ces dix pages, mais vraiment pas la bonne, une fictive non-physique, non-relativiste, non-intrinsèque, énormément inférieure à la fréquence intrinsèque :

This fundamental and underived postulate tells us that the frequency f with which the electron stopwatch rotates as it explores each path is given by the expression :

[tex]f=\frac{KE-PE}{h}[/tex].

Grâce à cet outil inapproprié, Feynman doit explorer des chemins monstrueusement larges, d'une lourdeur mathématique aussi inutile qu'exténuante : l'essentiel de ce qu'il s'astreint à explorer donne quand même un résultat nul.

Comment en est-il arrivé là ? Simplement par l'arrogance américaine collective : pour les physiciens américains, ce qui n'est pas publié en anglais n'existe pas.
Ainsi Feynman a ignoré toute sa vie le caractère périodique de tout quanton doté de masse, et donc ses deux fréquences intrinsèques :
La fréquence de Broglie (pour tous) : [tex]\frac{m.c^2}{h}[/tex], publiée en 1924 (publiée en français).
La fréquence électromagnétique Dirac-Schrödinger pour les fermions, tels que l'électron : [tex]\frac{2.m.c^2}{h}[/tex], publiée en 1930 (publiée en allemand).

Ce fait (la fréquence intrinsèque broglienne) réduit radicalement les chemins alternatifs à explorer par le jeu mathématique : très vite les alternatives deviennent largement non physiques et de contribution identiquement nulle.



Rappel :
Si la périodicité de Broglie est la bonne pour les interférences d'un fermion (spin 1/2) avec lui-même, pour les interactions avec un champ électromagnétique, il faut utiliser la fréquence électromagnétique du Zitterbewegung, découverte en 1930 par Erwin Schrödinger sur la base de l'équation d'onde de Dirac pour l'électron. Et c'est le double : [tex]\nu_{e_{Dirac-Schroedinger}} = \frac{2m_e c^2}{h} = 2,4712 . 10^{20} Hz[/tex]

Par exemple, quand en 1927 Schrödinger a tenté d'expliquer la diffusion Compton par une diffraction selon la loi de Bragg, il lui manquait un point : avec l'équidistance broglienne , la seule connue en 1927, il ne pouvait atteindre que le second ordre de diffraction, tandis que le premier ordre n'était jamais observé. Tout s'arrange définitivement quand on considère l'onde stationnaire temporaire à l'équidistance selon Dirac-Schrödinger, due au battement entre l'électron incident et l'électron repartant. Liens :
E. Schrödinger. Über den Comptoneffect. Annalen der Physik. IV. Folge, 62. http://www.apocalyptism.ru/Compton-Schrodinger.htm
http://deonto-ethique.eu/quantic/index.php?title=Calcul_diffusion_Compton_et_Zitterbewegung

Voir aussi l'annihilation d'une paire e⁺ e^- en une paire de gammas, et la matérialisation d'un gamma d'énergie au moins 1022 keV en une paire e⁺ e^- quand il réagit avec un électron lié à un atome.

[JacquesL]

Un autre point-clé qui explique l'échec final de Feynman à appréhender et communiquer le phénomène physique réel est qu'il n'utilise PAS la vitesse de phase. Il confond cette phase palpatrice et exploratrice avec l'électron-corpuscule.

Oui, bon, on nous précise qu'il n'a corrigé qu'en 1965 : R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals. (McGraw–Hill, New York, 1965).

Ouais, bon, je demande à voir. C'était très mal parti.

[JacquesL]

Soyons concrets, voyons les propriétés de propagation d'un électron d'abord dans un tube cathodique, ici une TV couleur élaborée. Puis nous prendrons un électron moins rapide, accéléré sous 300 V, pour faire une diffraction sur un cristal, puis encore moins rapide (et donc plus gros), pour faire des interférences.
La vitesse macroscopique moyenne dans notre repère est décrite comme v = c.tanh([tex]\phi[/tex]) pour faciliter la diagonalisation de la transformation de Lorentz, sur le cône de lumière.

Prenons l'exemple des électrons d'un tube de télévision couleur, accélérés sous 24 kV. Le quotient (énergie totale /énergie au repos), égal à ch([tex]\phi[/tex]), vaut 1,0469668. L'argument [tex]\phi[/tex] vaut donc Argch(1,0469668) = 0,305230. La vitesse v de l'électron dans le repère du téléviseur vaut 88 784 827 m/s, en moyenne macroscopique. Elle se compose d'un mouvement luminique direct, sur une durée (comptée dans le repère du téléviseur) proportionnelle à [tex]e^\phi[/tex] = 1,35703, et d'un mouvement rétroluminique, sur une durée proportionnelle à [tex]e^{-\phi}[/tex] = 0,73690.

Cela contraste avec la vitesse de phase broglienne sur l'axe de propagation, obtenue par une inversion dont le rayon est la célérité de la lumière. Pour ces mêmes électrons, la vitesse de phase de leur onde, largement supraluminique, vaut c²/v = c.coth(f) = 3,37662 .c (la longueur d'onde broglienne vaut alors 8,193 pm, ou 8193 fm).

Sur un parcours de 30 cm, cela fait 36,6 milliards de longueurs d'onde. Cela implique aussi que sur ce parcours, l'électron a galopé 73,2 milliards de fois vers l'avant à célérité luminique, et 73,2 milliards de fois vers l'arrière à célérité luminique.
Pas sûr que cela lui ait laissé le loisir d'aller explorer la planète Jupiter et revenir...

[JacquesL]

L'étape suivante va être de prendre la raie [tex]K \alpha_1[/tex] du molybdène, à 0,709300 Å (17,47934 keV), et chercher la tension d'accélération et la vitesse d'un électron qui aura la même longueur d'onde.
On peut déjà voir le nombre de longueurs d'onde sur le parcours :
30 cm / 0,709300 Å = 4,23 milliards de longueurs d'onde.
Impulsion : 9,3417 . 10^-24 kg.m/s
Vitesse comptée non relativiste : 10 255 km/s
v/c : 0,0342 (3,4%), c'est du non relativiste.
Gamma : 1,00059
Vitesse corrigée relativiste : 10 249 km/s.
Energie cinétique : 4,790 . 10^-17 J.
ddp accélératrice : 299 V.

Un intermédiaire de calcul bien utile reliant la longueur d'onde à la tension accélératrice P :
[tex]P.\lambda^2 = \frac{h^2}{2.m_e.q}[/tex] = 1,50412 . 10^-18 V.m²

Temps de vol pour parcourir 30 cm : 29,27 ns.
Compté dans le repère de l'électron : 29,29 ns.
Combien de périodes brogliennes durant cette durée ?
3 619 milliards de périodes durant ce temps de vol.

Vitesse de phase : 87,69 millions de km/s.

Ce genre de manip ne donne pratiquement aucun renseignement sur la largeur ni la profondeur de cohérence. Un équipement de ce genre est proposé par Leybold pour les expériences en lycée devant les élèves, et les raies de diffraction Debye-Scherrer sont manifestement larges, décevantes devant la finesse qu'on obtient avec une raie [tex]K \alpha[/tex] d'une anticathode métallique. Pour que l'on puisse affirmer que cette largeur provient de la trop grande finesse de chaque électron diffractant par rapport au réseau cristallin, encore faudrait-il d'abord éliminer la dispersion du faisceau en vitesse et direction. On en est loin.
La seule certitude obtenue est que chaque électron du faisceau incident est profond d'au moins trois ou quatre distances interatomiques, large de quatre à six distance interatomiques, pour le moins, afin que les conditions de Bragg reposent sur quelque chose de physique.

Pour en savoir plus sur la largeur et la profondeur de cohérence de chaque électron, il faut une manipulation avec des électrons nettement moins rapides, du genre utilisé dans les expériences de type Aharanov-Bohm. A suivre.