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jacquesloyal

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Algèbre et géométrie.

Démarré par ffi, 24 Avril 2013, 01:01:50 PM

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ffi

Connaissez-vous le travail de David Hestenes (qu'il dénomme geometric algebra) ?
Si oui, qu'en pensez-vous ?
A priori, il me semble assez proche du vôtre.

(Note : en latin "vertere, versus" signifie "tourner", donc "verseur" pourrait être une désignation alternative à "tourneur". Ex : les universités donnent une certaine tournure d'esprit)


ffi

On peut trouver quelques liens à
http://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_g%C3%A9om%C3%A9trique_%28structure%29.

J'ai aussi enregistré quelques documents chez moi si cela vous intéresse.

Hélas, n'étant pas mathématicien moi-même, je ne suis pas vraiment en mesure de dire ce que cela vaut.
Mon père, qui était prof de math (lycée / BTS), ne trouve cela pas trop bien fait; mais il a moins étudié le travail de Hestenes que moi.

Je trouve que cela converge avec votre travail sur ce que vous appelez tourneur, qu'il appelle rotor et que j'appelle verseur... il a aussi la même conclusion que vous sur les quaternions.

J'attendrais le temps nécessaire pour savoir ce que vous en pensez.
Il est vraiment important d'avoir enfin un langage mathématique clair et sans ambigüité pour la physique.

JacquesL

#3
Voilà, je suis très malheureux avec la demi-rigueur expéditive de David Hestenes. Il voit que les propriétés algébriques lui sont sympathiques, et ça lui suffit. Ça ne me suffit pas, loin s'en faut. Son travail sémantique notamment est très en dessous des besoins.

Pour la nomenclature, évidemment que nous avons divergé, créateurs indépendants, chacun isolé. De même Jean Barbotte, qui publiait quand j'avais quatre ans, a fait des choix de nomenclature que j'apprécie et dont j'admire l'effort de pédagogie, que je mentionne, mais que je ne suis pas.

Mon exigence de rigueur est d'une toute autre nature que ce qui se fait d'habitude, et que ce que fit Hestenes. J'exige que tout parte d'expériences concrètes que chacun peut refaire, et qui ont (ou qui ont eu) une actualité dans des métiers réels, et que l'enfant ou l'étudiant puisse refaire à son niveau. Que l'on ne produise de schèmes d'abstractions qu'à partir de protocoles de comptage et de mesure fiables, validés de façon croisée, professionnellement utilisables. J'exige que l'abstracteur supporte et honore le fardeau de la preuve, respecte ses obligations interprofessionnelles.

http://www.deonto-ethics.org/geom_syntax
http://www.deonto-ethics.org/geom_syntax/index.php?title=Cahier_des_charges_:_grandeurs_physiques,_vecteurs,_tourneurs

Ma conclusion provisoire est donc terrible : il faut tout refaire, en beaucoup plus solide, en beaucoup plus didactique et interprofessionnel.
On ne jettera pas pour autant son oeuvre aux orties. Oui il a raison d'appliquer extensivement les algèbres de Clifford, et on ne regrettera jamais assez que William Kingdon Clifford soit décédé si tôt, à trente-quatre ans, sur une oeuvre aussi inachevée. Simplement sous les petits tracés à la ficelle par Hestenes, il faut creuser et couler de vraies fondations, avec chaînages acier selon les règles de l'art.

Ce qui m'a vraiment intéressé est qu'il fait référence à l'expérience de Gouanère et Al. qui a mis en évidence la réalité de la fréquence Dirac-Schrödinger de l'électron, 2mc²/h. Il restera à rendre compte de l'écart entre le vecteur d'onde prévu pour la direction <110> du silicium et celui observé. Je n'ai pas accès à la publication originale de 2005 (faut payer...), mais à celle de 2008, et aux interprétations qu'en ont faites D. Hestenes et Martin Rivas. L'intervention d'un indice de réfraction (autrement dit, d'une variation dans la masse effective moyenne de l'électron en voyage dans le cristal) qui aurait été négligé dans la théorie, est des plus probables : nous rencontrons souvent ces variations périodiques dans la masse effective d'un électron selon sa direction et sa position dans le cristal, et tout porte à penser que les variations moyennes de la masse effective ne sont pas négligeables non plus.

Je tâche d'établir un contact direct avec Michel Gouanère, qui a pris sa retraite.


Références :
Jean Barbotte. Le calcul tensoriel. Bordas, 1948. Paris.
A search for the de Broglie particle internal clock by means of electron channeling
Catillon P., Cue N., Gaillard M.-J., Genre R., Gouanère M. et al
Foundations of Physics 38 (2008) 659-664 [in2p3-00311952 - version 1]
http://aflb.ensmp.fr/AFLB-331/aflb331m625.pdf
   Experimental observation compatible with the particle internal clock
Gouanère M., Spighel M., Cue N., Gaillard M.J., Genre R. et al
Annales de la Fondation Louis de Broglie 31 (2006) 483-488 [in2p3-00172701 - version 1]
aflb.ensmp.fr/AFLB-301/aflb301m416.pdf

ffi

Merci bien de votre opinion.
J'adhère totalement aux paroles de Lavoisier rapportées dans votre cahier des charges.
C'est évident que ça s'est passé ainsi au XVIIème (Leibniz travaillait autant sur le langage en général que sur les maths).
Cela correspond aussi à la définition de la vérité de Saint Thomas d'Aquin : adaequatio rei et intellectus (Comme quoi il ne faut pas mépriser la théologie qui  contient les bases de l'épistémologie...)

Ne risque-t-on pas en effet de s'y perdre, quand l'on parsème les discours de fictions ?

J'avoue que je reste un peu perdu et perplexe.
Entre l'algèbre extérieure, l'algèbre vectorielle, l'algèbre tensorielle, l'algèbre des nombres complexes, celle des quaternions, celle des biquaternions,..etc, je ne parviens pas à déterminer quel est l'algèbre idoine pour tel ou tel problème.

Le tout tenseur ne me convient pas : Tout ces termes "antisymétriques, covariant, contravariant, degré" me semblent mal sentis : l'adjectif accolé au substantif informe sur un des attributs de la substance désignée. Mais s'il faut désigner deux choses totalement différentes, alors le faire en accolant un adjectif au substantif est une faute de goût : Puisqu'il s'agit de distinguer deux choses différentes, alors il faut deux substantifs différents (un cercle n'est pas une ellipse, un carré n'est pas un rectangle). Comment ce flou linguistique permettrait-il de manier en toute sécurité les divers objets mathématiques ?

J'ai vu également que vous aviez tenté de lancer le débat sur fr.sci.physique, et que ce débat a été fort pitoyable... Ca laisse perplexe sur les "bienfaits" d'internet (qui est hélas plus un défouloir qu'autre chose...)

Reste plus qu'à en appeler à l'académie des sciences : je crois que c'est sa mission à l'origine d'assurer une science de qualité. Cordialement.

JacquesL

Je t'encourage à élaborer ton cahier des charges. Ou étape intermédiaire : énoncer tes insatisfactions sur quelques cas précis, assez précis pour que ce soit un document transmissible et exploitable.

JacquesL

Citation de: ffi le 26 Juin 2013, 06:26:13 PM
Le tout tenseur ne me convient pas : Tout ces termes "antisymétriques, covariant, contravariant, degré" me semblent mal sentis : l'adjectif accolé au substantif informe sur un des attributs de la substance désignée. Mais s'il faut désigner deux choses totalement différentes, alors le faire en accolant un adjectif au substantif est une faute de goût : Puisqu'il s'agit de distinguer deux choses différentes, alors il faut deux substantifs différents (un cercle n'est pas une ellipse, un carré n'est pas un rectangle). Comment ce flou linguistique permettrait-il de manier en toute sécurité les divers objets mathématiques ?
Bien sûr que si, la catégorie des ellipses inclut celle des cercles, la catégorie des rectangles inclut celle des carrés.

ffi

En écrivant ceci, je me souvenais de cette affirmation : "L'ellipse peut tendre vers le cercle, sans jamais pouvoir l'atteindre strictement ", voir http://aflb.ensmp.fr/AFLB-333/aflb333m568.pdf, page 8 et 9, à partir du chapitre "l'exemple géométrique". Il reste que s'il faut désigner deux choses différentes en substance, alors mieux vaut deux substantifs différents. L'ellipse devient un cercle par accident (un cercle est une ellipse particulière), ce qui justifie l'emploi d'un adjectif, dont le rôle est justement de caractériser un "accident' pour une substance (au sens philosophique). Cet accident de l'ellipse est dû à la "contingence" des deux foyers (Et hop ! On retombe parfaitement sur les notions nécessité/contingence et substance/accident...)

Quant au cahier des charges :
1° Ce qui m'ennuie un peu, c'est que l'on confond souvent entre objet et opération.
exemples :
- le vecteur AB peut représenter un segment ou une translation.
- le verseur OAB peut représenter un arc ou une rotation.
- un nombre complexe peut représenter un point du plan ou une similitude.
...etc

Il me semble qu'il faudrait pouvoir distinguer entre les objets et les opérations, de même qu'en arithmétique l'on distingue entre un chiffre et une opération.

2° Il me semble que l'algèbre de la physique doit pouvoir utiliser des formes géométriques, car, au final, il s'agira toujours de produire un objet qui aura une certaine forme.

Si je prends un cas concret, votre écrit, http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/SYNTAXE2_.pdf
Il y a, selon ce que vous écrivez, une différence de substance entre :
- le tourneur (ou [dé]verseur) qui tourne d'un quart de tour un vecteur (ou autre)
- le tourneur étendu, qui représente une surface.

Cette différence essentielle implique de ne pas choisir le même substantif, même complété par un adjectif.
Il faut donc choisir un autre nom, que les propriétés algébriques soient similaires ne compte pas.
Je propose "Aire" : Le produit de deux segments donne une Aire : S0 * S1 = A.

Pour l'induction magnétique : c'est un [dé]verseur, ça indique où se déversent les charges.
Ce déversement varie avec la distance.

Pour le moment cinétique : c'est une Aire, dans l'espace des positions et impulsions (Formalisme hamiltonien). Un mobile en mouvement de rotation uniforme est caractérisé par une Aire constante dans l'espace position-impulsion.

Théorème d'Ampère : Ici, je ne comprends pas ce que vous écrivez. Sur Wikipédia il y a un produit scalaire.

ffi

Je reprends sur la moment cinétique : c'est une quantité de mouvement aréolaire.
voir ici par exemple : }]http://jubilotheque.upmc.fr/ead.html?id=PC_000293_001&c=PC_000293_001_toc11&qid=eas1373893245408#!{%22content%22:[%22PC_000293_001_toc11%22,false,%22eas1373893245408%22]}

D'où les cas d'utilisation de l'opération du produit extérieur :

  • renverser un vecteur : le produit d'un verseur par un vecteur est un vecteur
  • calculer une Aire : le produit extérieur d'un vecteur par un vecteur est une Aire, avec un coefficient 1/2 pour obtenir celle du triangle qui s'appuie sur la diagonale du parallélogramme formé, sans ce coefficient pour obtenir l'Aire du parallélogramme

Les deux notions sont reliées via la définition du radian comme l'Aire du cercle divisée par l'Aire d'un secteur de ce cercle, et c'est ce qu'illustre l'opération du quotient extérieur.

Cela permet de définir trois Être mathématiques : Verseur, Aire, Secteur.
L'Aire du Triangle et du Secteur ne sont équivalentes qu'à la limite infinitésimale.

JacquesL

#9
La gestion des dimensions physiques est parfaitement prise en charge par le tenseur métrique.
Tandis que la communauté des propriétés algébriques, seule considérée par David Hestenes, est bien gérée de façon uniforme, que l'on soit en L2, L0, L-2, etc. avec les capacités tornatorielles, etc.
Un vieil article datant de 1996 ou 1997 (inachevé, du reste) n'est pas repris sur le wiki :
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/Dimension.htm ou
http://jacques.lavau.deonto-ethique.eu/DIMENSIN.pdf

ffi

[Réponse mise par erreur sur l'autre blog... donc la synchro est déjà faite...]

J'avais lu cette synthèse intéressante (j'ai lu toute cette partie de votre site personnel).
Cela méritait d'être fait, je ne l'avais jamais vu, et je vous félicite pour cette bonne idée.
Mais parfois, je m'interroge sur nos unités de mesure et aussi le sens des grandeurs, surtout en électromagnétisme.

En reconsidérant vitesse aréolaire / moment cinétique, on voit bien que la quantité de mouvement aréolaire totale d'un solide s'obtient par intégration de la densité de quantité de mouvement aréolaire, d'où on tire le moment d'inertie. Mais il faut que la vitesse angulaire soit constante sur tout le solide pour que le moment d'inertie puisse être isolé. Donc le moment d'inertie me semble une sorte d'étape de calcul plus qu'une grandeur physique.

En fait, il me semble de plus en plus évident que le produit vectoriel fut défini pour exprimer le déterminant dans un plan (http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9terminant_%28math%C3%A9matiques%29#D.C3.A9terminant_de_deux_vecteurs_dans_le_plan_euclidien).

L'Aire du parallélogramme dessiné par deux vecteur (uv.sin a) ou celle de son triangle (1/2.uv.sin a) sont des grandeurs dont on a souvent besoin, elles s'obtiennent par opération du déterminant sur les coordonnées, et c'est donc certainement ce besoin qui fut à l'origine du produit vectoriel en tant qu'opération sur les vecteurs.

L'inconvénient, à mon goût, c'est que cela masque l'opération réalisée, car le résultat de ce déterminant est mis dans le plan perpendiculaire, le produit vectoriel cherchant à réaliser 2 opérations en 1 seule, celle du calcule de l'Aire et celle de trouver un vecteur perpendiculaire au plan.

Les règles de Cramer, les équation linéaires, les matrices ! Bon Dieu, ça me revient ! Y'en a des choses derrières les vecteurs... Donc en fait, ça représente bien souvent des systèmes d'équations linéaires, y compris différentielles.

Exemple :
Loi de Hooke généralisée :
Tenseur des contraintes (ordre 2) = Tenseur des constantes élastiques (ordre 4) * Tenseur des déformation (ordre 2).
=> Problème à 9 équations et 9 inconnues avec 81 coefficients.

On peut donc imaginer un espace vectoriel à 9 dimensions, et y définir une algèbre entre vecteurs,
mais cet espace n'aura rien à voir avec l'espace physique réel, qui reste à 3 dimensions.

Notez que le Tenseur des contraintes élastique, d'ordre 4, est en Pascal (L-1), que e tenseur des contraintes, d'ordre 2, est lui aussi en Pascal, que le tenseur des déformations, d'ordre 2, est sans dimension (L0).
Cela ne correspond pas à votre tableau de chasse au chapitre 4.

C'est qu'il y a diverses manipulations calculatoires qui semblent ne pas permettre faire un lien systématique entre l'ordre du tenseur et la dimension physique de la grandeur.

Cela reste néanmoins un bel effort de mise en ordre et il mérite d'être prolongé.